Jika \( f(x) = \frac{ax+b}{x^2+1} \) dengan \( f(0) = f’(0) \) dan \( f’(-1) = 1 \), maka \( a + b = \cdots \)
- 4
- 21
- 0
- -2
- 2
(SBMPTN 2014)
Pembahasan:
Kita cari turunan dari fungsi \( f’(x) \) terlebih dahulu menggunakan aturan turunan pembagian, yakni:
\begin{aligned} f'(x) &= \frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)} \\[8pt] f'(x) &= \frac{(a)(x^2+1)-(ax+b)(2x)}{(x^2+1)^2} \\[8pt] &= \frac{ ax^2+a-2ax^2-2bx }{ (x^2+1)^2 } \end{aligned}
Dengan demikian, kita peroleh:
\begin{aligned} f'(x) &= \frac{ ax^2+a-2ax^2-2bx }{ (x^2+1)^2 } \\[8pt] f'(0) &= \frac{a(0)^2+a-2a(0)^2-2b(0)}{(0^2+1)^2} \\[8pt] &= a \\[8pt] f'(1) &= \frac{ a(-1)^2+a-2a(-1)^2-2b(-1) }{ ((-1)^2+1)^2 } \\[8pt] 1 &= \frac{a+a-2a+2b}{4} \\[8pt] 4 &= 2b \Leftrightarrow b = 2 \end{aligned}
Untuk \(b=2\) dan \( f(0) = f’(0) = a\), kita peroleh:
\begin{aligned} f(x) &= \frac{ax+b}{x^2+1} \\[8pt] f(0) &= \frac{a(0)+2}{0^2+1} \\[8pt] a &= \frac{2}{1} = 2 \\[8pt] a + b &= 2 + 2 = 4 \end{aligned}
Jawaban A.